Ufobalové ELO

Ufobal. A matematika. Věci, které na první pohled nemají moc společného. Přesto je spousta způsobů, jak se dají zkombinovat. A jeden z nich prozkoumáme právě teď, při naší cestě do světa ufobalových čísel.

Dozvíš se tu, které týmy vyhrály zaslouženě a které měly štěstí. Pak si ukážeme, jak dlouho Epix dominuje – a jestli ho někdo dohání. A na závěr nás čeká malé překvapení. Držte si kšiltovky, vyrážíme!

Jak matematici zjednodušují realitu?

Naším největším kamarádem se nyní stane takzvaný Bradley-Terryho model (dále jen BT). To je matematický popis světa, který říká, že každý tým má svoji sílu $S$, vyjádřenou jediným kladným číslem. Když tým $A$ se silou $S_A$ nastoupí proti týmu $B$ se silou $S_B$, vyhraje s pravděpodobností $p = \frac{S_A}{S_A+S_B}$.

Konkrétní příklad: Řekněme, že Odpad A má sílu $3,5$ a Tamara $1,5$. Pak Odpad vyhraje s pravěpodobností $\frac{3,5}{3,5+1,5} = \frac{3,5}{5} = 0,7$, tedy $70\ \%$. Naopak Tamara vyhraje zbývajících $\frac{1,5}{1,5+3,5}= 30\ \%$ případů.

Kromě síly $S$ budeme dále využívat také rating $R = \log_2\left(S\right)$. Pro matematicky méně zdatné čtenáře malé vysvětlení: každé zdvojnásobení $S$ zvětší hodnotu $R$ o $1$. Tedy $S=0,5 \Leftrightarrow R=-1$, pak $S=1 \Leftrightarrow R = 0$, dále $S = 2 \Leftrightarrow R = 1$ nebo třeba $S = 8 \Leftrightarrow R = 3$.

Otázka, která tě jistě napadá: funguje to takto ve skutečnosti? Často ne. BT model má dvě hlavní nevýhody:
1. Některé týmy mohou mít oblíbené soupeře, což model neumí podchytit. Cokoliv jako kámen-nůžky-papír je v BT nemožné.
2. I když pomineme předchozí bod, BT má jeden specifický předpoklad: Řekněme, že Ufobalové Trosky porazí Vitutus dvakrát ze tří případů, a JZM porazí Trosky také dvakrát ze tří. Pak v BT automaticky vyjde, že JZM porazí Vitutus na 80 %. Přitom vůbec není jasné, proč to má být zrovna tolik a ne 75 nebo třeba 83 %.

I přes tyto nevýhody se BT běžně používá – je na něm založen například šachový rating ELO. A to proto, že v realitě dává dostatečně přesné výsledky. Existuje sice spousta mnohem složitějších modelů, které se snaží vyřešit obě zmíněné nevýhody, ale žádný z nich není výrazně lepší.

Který tým je nejlepší, a proč zase vyhrál Epix?

Začneme jednoduše. Budeme předpokládat, že tým má na všech turnajích stejnou sílu, bez ohledu na aktuální soupisku. Máme seznam zápasů a jejich výsledků. Potom chceme najít sílu týmů, které pro zadané výsledky „dávají největší smysl“. Máme štěstí, přesně na toto existuje známý algoritmus: Nejdříve nastavíme sílu všech týmů na 1. Pak opakujeme jednoduchý proces, který síly postupně upravuje… Až se nakonec ustálí a je hotovo. Hledané „nejlepší“ řešení je na světě.

Ještě zdůrazním jednu věc, aby to bylo zcela jasné. Vycházím jen z výsledků zápasů, na ostatní věci neberu ohled. Zejména ignoruji výsledné umístění na turnaji. Že na tom hodně záleží, ukazují třeba Centimetry na Brně 2024. I přes celkové vítězství (jsme) odehráli spíš podprůměrný turnaj: jen 4 výhry (Sladké potěšení, Okulky, Díra v Tichu, Válcovny), jedna porážka (Epix) a 4 remízy (JZM, 2x Kule-, Epix). Ano, penaltové rozstřely počítám jako remízy.

Prozatím vezmu velké turnaje (Brna, Nížkovy) od roku 2021. To nám dává 1 094 zápasů. Celkem 35 týmů, z toho 19 jsou pravidelní účastníci, zatímco 16 se složilo jen na jeden či dva turnaje. A vyjde to takto:

Uf, to je hodně informací. Tak to pojďme postupně projít. Čelo tabulky asi nikoho nepřekvapí. Z tradičních týmů je Epix jasně nejlepší, Ketutus s rezervou bere druhé místo. Centimetry a Kule- svádí o třetí příčku velmi vyrovnaný boj. Spodní pozice také dávají smysl. Rohlík zažil těžký vstup do ufobalového světa, na několika turnajích dokonce prohrál všechny zápasy. Sladké potěšení nad Rohlíkem pravidelně vítězí, ale jinak také prožívá nelehké časy. Oba týmy pak doplňuje pár jednoturnajových projektů, které nedopadly zrovna nejlépe…

Jako největší překvapení vnímám asi Okulky, intuitivně bych je umístil výrazně výš. Nejspíš hodně trpí mým výběrem pětiletého okna, které zahrnuje i jejich úplné začátky. Navíc největší úspěch zaznamenaly na Crazy Nížkově, který jsem vzhledem k nestandardním podmínkám v rousínovské hale do těchto výpočtů nezahrnul.

Za malý komentář stojí i týmy na úplném vrcholu. Diskont i Jamajský Bob svým jediným turnajem prošly s jednou remízou (oba shodně prohrály na pencle). Ale Jamajský Bob měl o něco silnější soupeře, tak z toho vyšel lépe.

A když spojíme začátek a konec? Rohlík proti Epixu vyhraje s pravděpodobností 0,096 %. Tedy zhruba jednou z 1 000 zápasů. So you’re telling me there is a chance?

Jak plyne čas

Výsledky jednotlivých zápasů dokumentujeme už od roku 2016, leč dívat se tak daleko s jednou tabulkou spíš nedává smysl. Některé týmy se hodně zlepšily. Jiné, no, spíše stárnou. Ale právě to nám umožňuje nový úhel pohledu. Můžeme zkoumat, jak se rating týmů mění v čase.

Jak přesně to uděláme? Dívat se na výsledky z jednoho turnaje by nefungovalo, naše metoda potřebuje víc dat. Můžeme však vzít o trochu delší období – v našem případě pět turnajů, to znamená dva roky. Pustíme náš algoritmus na prvních pět turnajů, zaznačíme výsledek. Pak odstraníme Brno 2016, přidáme Nížkov 2018, vyhodnotíme to znovu. A tak dále.

Pro transparentnost zmíním, že Komaps, Válcovny (Brno 2024 a 2025) a Orion (Nížkov 2023) jsem sjednotil pod jedinou žlutou čáru.  

Tady si můžeš graf prohlédnout v plném rozlišení. Dej si na čas. Důkladně si ho prohlédni. Hotovo? Vrať se k němu a podívej se ještě jednou. Tak jo. Tak si k tomu pojďme něco říct. Třeba: Proč se od Nížkova 2022 všichni zhoršují?

Má to zcela logické vysvětlení – nezhoršují. Jednu věc o Bradley-Terry modelu jsem doteď tajil, ale možná už tě napadla. Síly totiž nejsou jednoznačné. Pokud všem týmům vynásobím sílu deseti (nebo libovolnou jinou konstantou), všechny pravděpodobnosti zůstanou nezměněné. V jazyce ratingů: pokud ke všem hodnotám v jednom sloupci přičtu konstantu (posunu celý sloupeček nahoru nebo dolů), nic se nezmění.

Tuto nejednoznačnost řeším tak, že prostě sloupeček „vycentruju“. Posunu tak, aby průměr všech hodnot byla 0. No, a tento posun je hledaným viníkem. Na Brně 2023 totiž přibyl Diskont s hodnotou $R = 6,7$ (haha). Aby zůstal průměr zachován, musely se ostatní týmy trochu uskromnit. Totéž způsobil Jamajský Bob na posledním Nížkově. A pokles v Brně 2024 vznikl naopak: z grafu zmizí (skryté) Růžové Uhlí a Fíha Tralala, které měly v součtu rating $-6$. 

Ze stejného důvodu je také nemožné srovnávat třeba JZM 2018 a JZM 2024. Opravdu se Jaci zhoršují? Nebo se jen zlepšili všichni okolo? Těžko říct. Graf neukazuje, jak se mění síla týmů sama o sobě. Ukazuje jen, jak se vyvíjí v porovnání k soupeřům. Jedna věc je nicméně i tak patrná: nůžky se rozevírají. Rozdíly mezi nejlepšími a nejhoršími jsou mnohem větší než dřív. Teď není dobrá chvíle být na turnaji nováčkem… 

V příštím díle uvidíte

Tady je dobré místo naši cestu přerušit. Ale nezoufej, není to na dlouho. Už brzy se dočkáš pokračování. Budeme hledat odpověď na Základní otázku života, ufobalu, a vůbec. A taky zkusíme předpovídat budoucnost!

Vašek